Question

19．函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{π}{8}$x+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的对称轴方程及单调增区间；
（3）求f（x）在[0，$\frac{20}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由条件利用f（x）的最小正周期求得f（x）的图象的对称轴方程，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的增区间．
（3）由条件利用正弦定义域和值域求得f（x）在[0，$\frac{20}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{π}{8}$x+1=sin$\frac{π}{4}$xcos$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{4}$xsin$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8．
（2）令$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=4k+$\frac{10π}{3}$，可得f（x）的对称轴方程为 x=4k+$\frac{10π}{3}$，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 8k-$\frac{2π}{3}$≤x≤8kπ+$\frac{10π}{3}$，
可得函数的增区间为[8k-$\frac{2π}{3}$，8kπ+$\frac{10π}{3}$]，k∈Z．
（3）在[0，$\frac{20}{3}$]上，$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，故f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．