题目内容

已知关于x的二次函数f（x）=x2+（2t-1）x+1-2t，
（1）求证：对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根；
（2）若，求证：方程f（x）=0在区间上各有一个实数根．
【答案】分析：（1）求证：对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根；只需找出一个实根即可，也可以用判别式来解．
（2）计算x=-1、0、时的函数值即可证明要求证的问题．
解答：解：（1）由f（1）=1知f（x）=1必有实数根，
或由△=（2t-1）2+8t=（2t+1）2≥0得f（x）=1必有实数根；
（2）当时，
因为，
，
，
所以方程f（x）=0在区间上各有一个实数根．
点评：本题考查根的存在性及根的个数问题，是基础题．
练习册系列答案
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已知关于x的二次函数f（x）=x2+（2t-1）x+1-2t．
（1）求证：对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根；
（2）若方程f（x）=0在区间（-1，2）上有两个实数根，求t的范围．
已知关于x的二次函数f（x）=ax2-2bx-1，（其中常数a、b∈R），满足
a+b-6≤0
a＞0
b＞0
，则函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率是（　　）
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3
精英家教网已知关于x的二次函数f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=-2时，由于对任意的x∈R，函数f（x）的值总大于零，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果方程f（x）=0有一个负根和一个不大于1的正根，求实数a，b满足的条件，并在右图所给坐标系中画出点（a，b）所在的平面区域；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，若实数k满足b=k（a+1）+3，求k的取值范围．
已知关于x的二次函数f（x）=ax2-8bx+1．
（1）设集合M={1，2，3}和N={-1，1，2，3，4，5}，从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，求函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域
x+y-6≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率．
已知关于x的二次函数f（x）=ax2-4bx+1
（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（a，b）是区域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

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