题目内容
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
（1）
（2）见解析
【解析】方法一：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－ 
sin 30°＝1－ 
＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ 
.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋
cos2α＋ 
sin αcos α＋
sin2α－
sin αcos α－
sin2α＝
sin2α＋
cos2α＝
.
方法二：(1)同方法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ 
.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝ 
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝ 
－ 
cos 2α＋ 
＋ 
(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－ 
sin αcos α－ 
sin2α
＝ 
－ 
cos 2α＋
＋ 
cos 2α＋ 
sin 2α－ 
sin 2α－ 
(1－cos 2α)
＝1－
cos 2α－ 
＋ 
cos 2α＝
