Question

设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．

(1)证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)证明＜2.

 

Answer 1

（1）an＝n.（2）见解析

【解析】(1)由已知得，2Sn＝＋an，且an＞0，

当n＝1时，2a1＝＋a1，解得a1＝1(a1＝0舍去)；

当n≥2时，有2Sn－1＝＋an－1.

于是2Sn－2Sn－1＝－＋an－an－1，

即2an＝－＋an－an－1.

于是－＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.

因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝1(n≥2)．

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)证明：因为an＝n，则Sn＝，，

所以＝2＝2＜2.