Question

【题目】已知函数f（x）的值满足f（x）＜0，对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．
（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤ ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=﹣1，可得f（1）=1…（2分）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）f（﹣1），∵f（﹣1）=1，∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数
（2）解：f（x）在（0，+∞）上是增函数，

证明如下：若x＞0，则f（x）=f（ ）≥0．

若存在x0＞0，使得f（x0）=0，则f（27）=f（ ）=f（ ）×f（x0）=0与已知矛盾，

∴当x＞0时，f（x）＞0

设：0＜x1＜x2，∴ ，由题设知

且 ，∴ …（8分）

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在（0，+∞）上是增函数

（3）解：∵f（27）=9，而f（27）=f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]3∴ ∵

∴f（a+1）≤f（3），∴a+1≤3，a≥00≤a≤2．

∴a的取值范围：[0，2]

【解析】（1）利用赋值法，令y=﹣1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；（3）先利用赋值法求得f（3）= 再利用函数的单调性解不等式即可