Question

（12分）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：
①  ②，其中n∈N^*，M是与n无关的常数
(1)若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；
(2)设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；
(3)在(2)的条件下，设，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

Answer 1

(1) {S_n}W ；  (2) M的最小值为7； (3) 见解析.

第一问利用S_n=-n²+9n
满足①  当n=4或5时，S_n取最大值20
第二问中b_n+1-b_n=5-2ⁿ可知{b_n}中最大项是b₃=7
∴ M≥7   M的最小值为7             …………8分
第三问中，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）
成等比数列，则b_q²=b_p­·b_r
∴
∴
∵ p、q、r∈N^*      
∴ p=r与p≠r矛盾
解：(1) S_n=-n²+9n
满足①
   当n=4或5时，S_n取最大值20
∴S_n≤20满足②  ∴{S_n}∈W         …………4分
(2) b_n+1-b_n=5-2ⁿ可知{b_n}中最大项是b₃=7
∴ M≥7   M的最小值为7             …………8分
(3) ，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）
成等比数列，则b_q²=b_p­·b_r
∴
∴
∵ p、q、r∈N^*      
∴ p=r与p≠r矛盾
∴ {C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列  …………12分