Question

5．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	3	10	15
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	1	2	9	8
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	10	10	y	3

（Ⅰ）计算x，y的值；
（Ⅱ）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；
（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （I）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数，
（II）依据频率分布表估计出两个学校的优秀率．
（III）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．

解答 解：（I）依题甲校抽取55人，乙校抽取50，故x=6，y=7
（II）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，
估计甲校优秀率为$\frac{10}{55}$=18.2%，乙校优秀率为$\frac{20}{50}$=40%
（III）根据所给的条件列出列联表

	甲校	乙校	总计
优秀	10	20	30
非优秀	45	30	75
总计	55	50	105

k²=$\frac{105×（10×30-20×45）^{2}}{55×50×30×75}$=6.109

P（k2＞k0）	0.10	0.025	0.010
K	2.706	5.024	6.635

又因为6.10＞5.024，故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．

点评 本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义．