题目内容
15.已知a,b为异面直线,求证:过a和b平行的平面α有且只有一个.分析 由已知条件利用公理二、公理三及其推论进行证明.
解答 证明:在a上任意取一点C,过点C作直线CD∥b.
由于a,CD为两相交直线,故可唯一确定一平面α1.b∥α1.(平行于平面内的一条直线,就平行于这个平面).
若另有一平面α2,过a,且平行于b,可过b和点C做平面α3,α3与α2相交于过C点的直线CE.则由定理,得CE∥b.
但,已知:CD∥b.
故CD,CE为同一直线,即知α1与α2为同一平面.
∴过a和b平行的平面α有且只有一个.
点评 本题考查满足条件的平面α有且只有一个的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
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