Question

10．已知点A（1，1）、B（3，5）到直线l距离均为1，直线l的方程是x=2；y=2x-1±$\sqrt{5}$；2x-y-1=0．

Answer 1

分析 分类讨论：直线l的斜率不存在时，直线l的斜率存在时，当l∥AB时，设直线l的方程为：y=$\frac{5-1}{3-1}x$+m，当直线l经过线段AB的中点（2，3）时，设直线l的方程为：y-3=k（x-2），分别利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：直线l的斜率不存在时，直线l：x=2满足条件，因此x=2；
直线l的斜率存在时，
当l∥AB时，设直线l的方程为：y=$\frac{5-1}{3-1}x$+m，化为y=2x+m．
∵点A（1，1）、B（3，5）到直线l距离均为1，
∴$\frac{|2-1+m|}{\sqrt{5}}$=1，解得m=$-1±\sqrt{5}$，此时可得直线l的方程为：y=2x-1$±\sqrt{5}$．
当直线l经过线段AB的中点（2，3）时，设直线l的方程为：y-3=k（x-2），
化为kx-y+3-2k=0，
∵点A（1，1）、B（3，5）到直线l距离均为1，
∴$\frac{|k-1+3-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3k-5+3-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
化为|k-2|=|2-k|，
解得k=2．此时直线l的方程为：2x-y-1=0．
综上可得满足条件的直线l的方程为：x=2；y=2x-1±$\sqrt{5}$；2x-y-1=0．
故答案为：x=2；y=2x-1±$\sqrt{5}$；2x-y-1=0．

点评 本题考查了直线的方程、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想方法与计算能力，属于中档题．