题目内容

7．已知b，c∈R，函数f（x）=x2+bx+c，方程f（x）-x=0的两个实根为x1，x2，且x2-x1＞2，若四次方程f（f（x））=x的另两个根为x3，x4（其中x3＜x4），则（　　）
A．x1＜x2＜x3＜x4B．x3＜x1＜x4＜x2C．x1＜x3＜x4＜x2D．x1＜x3＜x2＜x4

分析 由题意把两根是x1，x2代入方程求出f（x），设t=（x-x1）（x-x2）代入f（x），化简f（f（x））-x后求出f（f（x））=x，利用条件和韦达定理得x3+x4=x1+x2-2，根据不等式的性质和作差法分别判断出四个根的大小关系．

解答 解：由题意知，f（x）-x=0的两根是x1，x2，
则f（x）-x=（x-x1）（x-x2），即f（x）=x+（x-x1）（x-x2），
t=（x-x1）（x-x2），则f（x）=x+t，
所以f（f（x））-x=f（x）+[f（x）-x1][f（x）-x2]-x
=x+t+（x-x1+t）（x-x2+t）-x
=t2+（2x-x1-x2+2）t
由f（f（x））-x=0得，t=0或t+2x-x1-x2+2=0，
所以（x-x1）（x-x2）+2x-x1-x2+2=0，
则x2-（x1+x2-2）x+x1x2-（x1+x2-2）=0，
所以x3、x4是上述方程的解，则x3+x4=x1+x2-2，
因为x2-x1＞2，所以x2＞x1，x1＜x2+2，
又x3＜x4，所以2x3＜x3+x4=x1+x2-2＜2x2，则x3＜x2，
同理可得，2x4＞x3+x4=x1+x2-2＞2x1，则x4＞x1，
因为x2-x4＞x3-x4，x3-x4＜0，所以x2＞x4，
同理可得，x1-x3＞x4-x3，x4-x3＞0，所以x1＞x3，
所以x2＞x4＞x1＞x3，
故选：B．

点评 本题考查了二次方程的根，韦达定理，以及作差法比较大小，考查利用换元法进行变形能力，属于中档题．

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