Question

12．已知在数列{a_n}中，首项a₁=3，且有2（a_n+1-a_n）=a_n+1•a_n，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{6}{-3n+5}$．

Answer 1

分析 通过对2（a_n+1-a_n）=a_n+1•a_n变形可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、-$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，计算即可．

解答 解：∵2（a_n+1-a_n）=a_n+1•a_n，
∴$\frac{2（{a}_{n+1}-{a}_{n}）}{2{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{2{a}_{n+1}{a}_{n}}$，
化简得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$，
又a₁=3，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{-3n+5}{6}$，
∴a_n=$\frac{6}{-3n+5}$，
故答案为：a_n=$\frac{6}{-3n+5}$．

点评 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．