题目内容
4.已知等差数列{an}的首项为a1=1,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*),函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为3-$\frac{1}{ln2}$.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1$\frac{4n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (Ⅰ)根据导数的几何意义,求出切线方程,即可求出a2的值,继而求出公差,
(Ⅱ)先由(Ⅰ)求得bn,再利用裂项求前n项和,需要分类讨论.
解答 解:(1)由f(x)=2x得f'(x)=2xln2…(1分)
函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线斜率为$k=f'({a_2})={2^{a_2}}ln2$…(2分)
切线方程为$y-{b_2}=({2^{a_2}}ln2)(x-{a_2})$…(3分)
所以切线在x轴上的截距为${a_2}-\frac{1}{ln2}$,…(4分)
从而${a_2}-\frac{1}{ln2}=3-\frac{1}{ln2}$,
故a2=3,所以公差d=a2-a1=2…(5分),
{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1…(6分)
$(2){b_n}={(-1)^{n-1}}\frac{4n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}={(-1)^{n-1}}(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})$…(7分)
$当n为偶数时,{T_n}=(1+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})-…+(\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1})-(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})$,
∴${T_n}=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$…(10分)
$当n为奇数时,{T_n}=(1+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})-…-(\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1})+(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})$,
∴${T_n}=1+\frac{1}{2n+1}=\frac{2n+2}{2n+1}$…(13分)
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2n}{2n+1},n为偶数\\ \frac{2n+2}{2n+1},n为奇数\end{array}\right.$…(14分)
点评 本题考查等差数列的概念,前n项和公式,导数的几何意义等知识;考查学生的运算求解能力、推理论证能力,属中档题
A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |