Question

【题目】(1)已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程；

(2) 求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用两圆内切、外切时，圆心距与半径之间的关系，得PM+PN=4，利用椭圆定义，求圆心的轨迹方程；

（2）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为t（t＞0），代入点 即可求出双曲线方程.

(1) 圆M：（x+1）2+y2=1，圆心M(-1，0),半径为1，

圆N：（x-1）2+y2=9，圆心N(1，0),半径为3，

动圆与圆外切并且与圆内切，如图，

设动圆P半径为R， 动圆P与圆M外切，则PM=1+R，

动圆P与圆N内切，则PN=3-R，

∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．∴P是以M、N为焦点的椭圆．

∵MN的中点为原点，∴椭圆中心在原点，∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，∴b2=a2-c2=4-1=3，

∴动圆圆心的轨迹方程

（2）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为λ(λ≠0)，

∵点在双曲线上，∴ ，解得，

故所求双曲线方程为.