Question

【题目】设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．
（2）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵x=2是函数f（x）的极值点，∴ ．

∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，

由 ，解得a=6，b=﹣1．

∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，

令 = ，x∈（0，+∞），得x＞2；

令f′（x）＜0得0＜x＜2，

所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．

故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），

因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）= 0，

所以x0∈（3，4），故n=3．

（2）解：令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，

则在x∈（1，e）上 ，有解，

令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，

由于 ，

令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，

∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，

①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．

②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a

若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，

∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．

若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，

∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，

∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．

综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立

【解析】（1）先求导得到 ，由 ，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（2）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．