Question

椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上有n个不同的点：P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，数列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差数列，则n的最大值是（　　）

• A、198
• B、199
• C、200
• D、201

Answer 1

分析：先求出等差数列|P_nF|的首项与末项，用含n的式子表示公差d，再根据数列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差数列，求出n的范围，在范围内求最大值即可．

解答：解：在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上中，a=2，c=1
∵椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1，最大距离是a+c=3，
∵数列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差数列，∴P1F=a-c=1，PnF=a+c=3，
d=

PnF-P1F

n-1

=

3-1

n-1

=

2

n-1

又∵数列|P_nF|是公差不小于

1

100

等差数列．∴d≥

1

100

即

2

n-1

≥

1

100

，n≤201．
∴n的最大值为201
故选D

点评：本题借助圆锥曲线的知识考查了等差数列的通项公式，属于圆锥曲线与数列的综合题．