题目内容

设直线y=ax+b与双曲线3x2-y2=1交于A、B,且以AB为直径的圆过原点,求点P(a,b)的轨迹方程.
y=ax+b
3x2-y2=1

消去y得:(a2-3)x2+2abx+b2+1=0.
∵直线与双曲线交于A、B两点,
a2-3≠0
△>0
,解得a2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=
2ab
3-a2
,x1•x2=
b2+1
a2-3

∴y1•y2=(ax1+b)(ax2+b)=a2x1x2+ab(x1+x2)+b2
又∵以AB为直径的圆过原点,
OA
OB
,得x1x2+y1y2=0,
由此可得x1x2+[a2x1x2+ab(x1+x2)+b2]=0,
即(1+a2)x1x2+ab(x1+x2)+b2=0,
可得:(1+a2)•
b2+1
a2-3
-ab•
2ab
3-a2
+b2=0,化简得:a2-2b2=-1.
因此,点P(a,b)的轨迹方程为x2-2y2=-1,即2y2-x2=1(x2<3).
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