题目内容

4.下列五个命题:
①“a>2”是“f(x)=ax-sinx为R上的增函数”的充分不必要条件;
②函数$f(x)=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$有两个零点;
③集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是$\frac{1}{3}$;
④动圆C既与定圆(x-2)2+y2=4相外切,又与y轴相切,则圆心C的轨迹方程是y2=8x(x≠0);
⑤若对任意的正数x,不等式ex≥x+a恒成立,则实数a的取值范围是a≤1.
其中正确的命题序号是①③⑤.

分析 利用导数法求出f(x)=ax-sinx为R上的增函数等价命题,进而根据充要条件的定义,可判断①;
求出函数$f(x)=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$的零点个数,可判断②;
求出从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率,可判断③;
求出圆心C的轨迹方程,可判断④;
求出使不等式ex≥x+a恒成立,的实数a的取值范围,可判断⑤.

解答 解:当f(x)=ax-sinx时,f′(x)=a-cosx,当a≥1时,f′(x)≥0在R上恒成立,f(x)=ax-sinx为R上的增函数,
由{a|a>2}?{a|a≥1},故“a>2”是“f(x)=ax-sinx为R上的增函数”的充分不必要条件,即①正确;
当函数$f(x)=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$时,f′(x)=-x2+1,令f′(x)=0,则x=±1,根据三次函数的图象和性质,可得当x=-1时,f(x)的极小值$\frac{1}{3}$>0,故f(x)仅有一个零点,故②错误;
集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数共有2×3=6种情况,其中这两数之和等于4有(2,2),(3,1)两种情况,故这两数之和等于4的概率是$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$,故③正确;
动圆C既与定圆(x-2)2+y2=4相外切,又与y轴相切,则圆心C的轨迹方程是y2=8x(x≠0)或y=0(x<0),故④错误;
若对任意的正数x,不等式ex≥x+a恒成立,即a≤ex-x对任意的正数x恒成立,令h(x)=ex-x,则h′(x)=ex-1,当x>0时,h′(x)>0恒成立,故h(x)在(0,+∞)上为增函数,
则a≤h(0)=1,故⑤正确;
故正确的命题序号是①③⑤;
故答案为:①③⑤

点评 本题以命题的真假判断为载体,考查了充要条件,函数的单调性,函数的零点,概率,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,轨迹方程,恒成立问题等知识点,综合性强,属于中档题.

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