题目内容
【题目】已知椭圆.
(Ⅰ)若的一个焦点为,且点在上,求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知上有两个动点,为坐标原点,且,求线段的最小值(用表示).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由椭圆焦点为,可得,再依据点在椭圆上,列出方程组解出,即可得椭圆方程;
(Ⅱ)先求出直线斜率不存在时的长度,然后当直线斜率存在时,设直线方程为,将之与椭圆方程联立,得到韦达定理,结合可得,再利用弦长公式求出,最后对比两种情况下的长度,进而求出最小值.
(Ⅰ)因为椭圆焦点为,.
又点在上,则有,
解得.
椭圆方程为.
(Ⅱ)①当直线斜率不存在时,根据对称性可知直线,直线的方程为,
将之代入中,可得,
所以.
②当直线斜率存在时,设直线方程为.
联立
得,
由,可得,
又,
,
,
.
综上所述,的最小值为.
【题目】为进一步深化“平安校园”创建活动,加强校园安全教育宣传,某高中对该校学生进行了安全教育知识测试(满分100分),并从中随机抽取了200名学生的成绩,经过数据分析得到如图1所示的频数分布表,并绘制了得分在以及的茎叶图,分别如图23所示.
成绩 | |||||||
频数 | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
图1
(1)求这200名同学得分的平均数;(同组数据用区间中点值作代表)
(2)如果变量满足且,则称变量“近似满足正态分布的概率分布”.经计算知样本方差为210,现在取和分别为样本平均数和方差,以样本估计总体,将频率视为概率,如果该校学生的得分“近似满足正态分布的概率分布”,则认为该校的校园安全教育是成功的,否则视为不成功.试判断该校的安全教育是否成功,并说明理由.
(3)学校决定对90分及以上的同学进行奖励,为了体现趣味性,采用抽奖的方式进行,其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会,低于94的同学只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为:
奖金 | 50 | 100 |
概率 |
现在从不低于90同学中随机选一名同学,记其获奖金额为,以样本估计总体,将频率视为概率,求的分布列和数学期望.
(参考数据:)