题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，设直线
过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点
到直线的距离为2.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点
且斜率不为零的直线交椭圆于
，
两点，在
轴的正半轴上是否存在定点
，使得直线
，
的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
（1）.根据
过椭圆
的上顶点和右顶点，得到的方程为
，根据点
到直线的距离为2结合离心率求解.
（2）设直线
的方程为
，
，
.联立方程组
消去
得
，
，将韦达定理代入上式研究与m无关即可.
（1）设椭圆的半焦距为
，根据题意，得
.
因为过椭圆的上顶点和右顶点，所以的方程为，即
.
又由点到直线的距离为2，得
，所以
.
设
，
，则
，解得
，从而
，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意设直线的方程为，，.
联立方程组，消去得，
，
所以
，
，
，
.
假设存在定点
，使得直线
，
的斜率之积为非零常数，
则
.
要使
为非零常数，当且仅当
，即
时成立，
此时，
，
所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数
.
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【题目】新《水污染防治法》已由中华人民共和国第十二届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议于2017年6月27日通过，自2018年1月1日起施行．2018年3月1日，某县某质检部门随机抽取了县域内100眼水井，检测其水质总体指标．
罗斯水质指数 | 02 | 24 | 46 | 68 | 810 |
水质状况 | 腐败污水 | 严重污染 | 污染 | 轻度污染 | 纯净 |
（1）求所抽取的100眼水井水质总体指标值的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）①由直方图可以认为，100眼水井水质总体指标值
服从正态分布
，利用该正态分布，求落在（5.21，5.99）内的概率；
②将频率视为概率，若某乡镇抽查5眼水井的水质，记这5眼水井水质总体指标值位于（6，10）内的井数为
，求的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100眼水井总体指标的标准差为
；
②若
，则
，
．
