题目内容

【题目】已知函数fx

1)讨论函数fx)的单调性;

2)证明:a1时,fx+gx)﹣(1lnxe

【答案】1)详见解析;(2)证明见解析

【解析】

1)对求导后,再对a分类讨论即可得出函数的单调性.

2a1时,将所证不等式转化为exex+1Fx)=exex+1Gx,分别根据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式成立.

1fxalnx,(x∈(0+∞)).

a≤0时,0,函数fx)在x∈(0+∞)上单调递减.

a0时,由,由

所以函数在(0)上单调递减,在(+∞)上单调递增.

2)证明:a1时,要证fx+gx)﹣(1lnxe

即要证:lnxe0exex+1x∈(0+∞).

Fx)=exex+1Fx)=exe

x∈(0,1)时,F′(x)<0,此时函数Fx)单调递减;

x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,此时函数Fx)单调递增.

可得x1时,函数Fx)取得最小值,F1)=1

GxGx

时,,此时为增函数,

时。,此时为减函数

所以xe时,函数Gx)取得最大值,Ge)=1.

x1xe不同时取得,因此Fx)>Gx),即exex+1x∈(0+∞).

故原不等式成立.

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