Question

16．根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0：50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过概率的和为1，求出a，求出50个样本中空气质量指数的平均值，即可得到由样本估计总体推出结果．
（Ⅱ）利用样本估计总体，推出ξ～B（2，0.3）．ξ的可能取值为0，1，2，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望，得到一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1解得a=0.02…（3分）
50个样本中空气质量指数的平均值为$\overline{x}$=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6．
由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6  …（6分）
（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ：B（2，0.3）．ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=${C}_{2}^{0}（{0.3）}^{0}×（0.7）^{2}$=$\frac{49}{100}$，P（ξ=1）=${C}_{2}^{1}{（0.3）}^{1}×{（0.7）}^{1}$=$\frac{42}{100}$，
P（ξ=2）=${C}_{2}^{2}{（0.3）}^{2}×{（0.7）}^{0}$=$\frac{9}{100}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{9}{100}$

…（8分）
Eξ=$0×\frac{49}{100}+1×\frac{42}{100}+2×\frac{9}{100}=0.6$．（或者Eξ=2×0.3=0.6），…（10分）
一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为30×0.6=18天．…（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查平均值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．