题目内容

13.直角三角形ABC中,A为直角,AB=1,BC=2,若点AM是BC边上的高线,点P在△ABC 内部或边界上运动,则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的范围是(  )
A.[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0]B.[-$\frac{3}{4}$,0]C.[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,0]D.[-3,0]

分析 由题意画出图形,然后建系,求出M的坐标,数形结合可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值为0,且可知当P在线段AC上时,$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值,设P(0,y)(0$≤y≤\sqrt{3}$),写出数量积的坐标表示,由y的范围求得最小值.

解答 解:如图,

由AB=1,BC=2,可得AC=$\sqrt{3}$,
以AB所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则B(1,0),C(0,$\sqrt{3}$),直线BC方程为$x+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$,
则直线AM方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{x+\frac{y}{\sqrt{3}}=1}\end{array}\right.$,解得:M($\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}$),
由图可知,当P在线段BC上时,$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最大值为0,
当P在线段AC上时,$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值,设P(0,y)(0$≤y≤\sqrt{3}$),
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$=($\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}$)(-1,y)=$-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}y$$≥-\frac{3}{4}$.
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的范围是[$-\frac{3}{4},0$].
故选:B.

点评 本题考查平面向量的数量积运算,考查了数量积的坐标运算,考查了数形结合的解题思想方法,想到建系是解答该题的关键,是中档题.

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