Question

16．已知集合A={a|关于x的方程$\frac{x+a}{{{x^2}-1}}=1$有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=$\left\{{-1，1，-\frac{5}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 若关于x的方程$\frac{x+a}{{{x^2}-1}}=1$有唯一实数解，则x+a=x²-1有一个不为±1的解，或x+a=x²-1有两解，其中一个为1或-1，分类讨论求出满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若关于x的方程$\frac{x+a}{{{x^2}-1}}=1$有唯一实数解，
则x+a=x²-1有一个不为±1的解，或x+a=x²-1有两解，其中一个为1或-1，
当x+a=x²-1有一个解时，
△=1+4a+4=0，此时a=$-\frac{5}{4}$，x=$\frac{1}{2}$，满足条件；
若x+a=x²-1有两解，其中一个为1时，a=-1，x=0，或x=1，满足条件；
若x+a=x²-1有两解，其中一个为-1时，a=1，x=2，或x=-1，满足条件；
综上所述：A=$\left\{{-1，1，-\frac{5}{4}}\right\}$，
故答案为：$\left\{{-1，1，-\frac{5}{4}}\right\}$

点评 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，转化思想，难度中档．