题目内容
已知椭圆的中心为坐标原点
,一个长轴端点为
,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,若直线
与
轴交于点
,与椭圆
交于不同的两点
,且
。(14分)
(1)求椭圆的方程;
(2)求实数的取值范围。
(1)(2)-1<m<
或
<m<1
解析试题分析:(1)∵一个长轴端点为,所以
,且焦点在y轴上,
因为短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,所以,
又因为,所以
,所以椭圆方程为
.
(2)(1)当直线斜率不存在时,不符题意,斜率为0时显然也不符题意;
设,
由,
∴,
设,
,
,
所以,
,
所以,所以
, 消去
得
,
又,∴
,
∴, ∴
<0, ∴-1<m<
或
<m<1.
考点:本小题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.
点评:求解直线与圆锥曲线的位置关系时,免不了要联立直线方程和圆锥曲线方程,此时一般运算量比较大,综合考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
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