Question

6．已知a，b∈R，且（a-2b）²+4（a²-4b²）²=1，则a²+4b²的最小值为$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 令a-2b=cosα，2（a²-4b²）=sinα，0≤α＜2π，则a+2b=$\frac{1}{2}$tanα，解得a，b，再由同角的平方关系和商数关系，结合基本不等式，即可求得最小值．

解答 解：令a-2b=cosα，2（a²-4b²）=sinα，0≤α＜2π，
则a+2b=$\frac{1}{2}$tanα，
解得a=$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{1}{4}$tanα，2b=-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{1}{4}$tanα，
即有a²+4b²=（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{1}{4}$tanα）²+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{1}{4}$tanα）²
=$\frac{1}{2}$cos²α+$\frac{1}{8}$tan²α
=$\frac{1}{2}$（cos²α+$\frac{1}{4}$•$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$）
=$\frac{1}{2}$（cos²α+$\frac{1}{4co{s}^{2}α}$）-$\frac{1}{8}$
≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{8}$，
当且仅当cos²α=$\frac{1}{4co{s}^{2}α}$，即cosα=$±\frac{1}{2}$时，取得最小值，
且为$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查圆的参数方程的运用，主要考查三角函数的化简和求值，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．