Question

【题目】已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=﹣ 时，方程f（1﹣x）= 有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ．…（1分）

因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．

即 ，解得a=0．

又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立

（2）解：因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，

所以 在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）

①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．

②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，

所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为 ，

因为a＞0所以 ，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，

因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，

解得 ．

因为a＞0，所以 ．

由①可得，a=0时，符合题意；

综上所述，a的取值范围为[0， ]

（3）解：若 时，方程 x＞0 可化为， ．

问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，

即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．

以下给出两种求函数g（x）值域的方法：

方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），

则 ，

所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，

当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，

因此h（x）≤h（1）=0．

而x＞1，故b=xh（x）≤0，

因此当x=1时，b取得最大值0．

方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．

设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则 ．

当 时，p'（x）＞0，所以p（x）在 上单调递增；

当 时，p'（x）＜0，所以p（x）在 上单调递减；

因为p（1）=0，故必有 ，又 ，

因此必存在实 使得g'（x0）=0，

∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；

当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；

又因为 ，

当x→0时，lnx+ ＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．

因此当x=1时，b取得最大值0

【解析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a；（2）由题意可得 在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求；（3）由题意可得 ．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求
方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2 ． 由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2 ， 的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合 ，可知x→0时，lnx+ ＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值