题目内容

【题目】已知函数f(x)=ln(2ax+1)+ ﹣x2﹣2ax(a∈R).
(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=﹣ 时,方程f(1﹣x)= 有实根,求实数b的最大值.

【答案】
(1)解: = .…(1分)

因为x=2为f(x)的极值点,所以f'(2)=0.

,解得a=0.

又当a=0时,f'(x)=x(x﹣2),从而x=2为f(x)的极值点成立


(2)解:因为f(x)在区间[3,+∞)上为增函数,

所以 在区间[3,+∞)上恒成立.…(5分)

①当a=0时,f'(x)=x(x﹣2)≥0在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞)上为增函数,故a=0符合题意.

②当a≠0时,由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a>0,

所以2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0对x∈[3,+∞)上恒成立.

令g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),其对称轴为

因为a>0所以 ,从而g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,

因为g(3)=﹣4a2+6a+1≥0,

解得

因为a>0,所以

由①可得,a=0时,符合题意;

综上所述,a的取值范围为[0, ]


(3)解:若 时,方程 x>0 可化为,

问题转化为b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,

即求函数g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.

以下给出两种求函数g(x)值域的方法:

方法1:因为g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),

所以当0<x<1,h′(x)>0,从而h(x)在(0,1)上为增函数,

当x>1,h′(x)<0,从而h(x')在(1,+∞上为减函数,

因此h(x)≤h(1)=0.

而x>1,故b=xh(x)≤0,

因此当x=1时,b取得最大值0.

方法2:因为g(x)=x(lnx+x﹣x2),所以g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2

设p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,则

时,p'(x)>0,所以p(x)在 上单调递增;

时,p'(x)<0,所以p(x)在 上单调递减;

因为p(1)=0,故必有 ,又

因此必存在实 使得g'(x0)=0,

∴当0<x<x0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减;

当x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上单调递增;

又因为

当x→0时,lnx+ <0,则g(x)<0,又g(1)=0.

因此当x=1时,b取得最大值0


【解析】(1)先对函数求导,由x=2为f(x)的极值点,可得f'(2)=0,代入可求a;(2)由题意可得 在区间[3,+∞)上恒成立,①当a=0时,容易检验是否符合题意,②当a≠0时,由题意可得必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,则a>0,从而2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0对x∈[3,+∞0上恒成立.考查函数g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),结合二次函数的性质可求;(3)由题意可得 .问题转化为b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,即求函数g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.方法1:构造函数g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),对函数h(x)求导,利用导数判断函数h(x)的单调性,进而可求
方法2:对函数g(x)=x(lnx+x﹣x2)求导可得g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2 . 由导数知识研究函数p(x)=lnx+1+2x﹣3x2 , 的单调性可求函数g(x)的零点,即g'(x0)=0,从而可得函数g(x)的单调性,结合 ,可知x→0时,lnx+ <0,则g(x)<0,又g(1)=0可求b的最大值

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