Question

8．已知函数f（x）=x²-（$\frac{a+1}{a}$）x+1，a＞0
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，解不等式f（x）≤0；
（2）比较a与$\frac{1}{a}$的大小；
（3）解关于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，不等式即 x²-3x+1≤0，由此求得x的范围，可得不等式f（x）≤0的解集．
（2）由于a＞0，分0＜a＜1、a＞1、a=1三种情况，分别比较a与$\frac{1}{a}$的大小．
（3）关于x的不等式f（x）≤0，即 （x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，分类讨论，求得它的解集．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）≤0，即 x²-3x+1≤0，求得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，即不等式f（x）≤0的解集为{x|$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$}．
（2）由于a＞0，故当0＜a＜1时，a＜$\frac{1}{a}$；当a＞1时，a＞$\frac{1}{a}$；当a=1时，a=$\frac{1}{a}$．
（3）关于x的不等式f（x）≤0，即 （x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，
当0＜a＜1时，a＜$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|a＜x＜$\frac{1}{a}$}；
当a＞1时，a＞$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|a＞x＞$\frac{1}{a}$}；
当a=1时，a=$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|x=1}．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．