已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.过F1的直线l与椭圆C相交于A.B两点.且△ABF2的周长为4$\sqrt{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,作与直线l平行的直线m.且直线m与抛物线y2=4x交于P.Q两点.若A.P在x轴上方.直线PA与直线QB相交于x轴上一点M.求直线l的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F（1，0），过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF₂的周长为4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（4，0）作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线y²=4x交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程．

分析（Ⅰ）求椭圆C的方程即是求a和b，根据△ABF₂的周长为4a，求出a，在根据焦点坐标求出c，那么b就可以求出．
（Ⅱ）设出ABPQ四点的坐标，根据三角形的相似比得它们纵坐标的关系，根据直线l与椭圆方程得到式①，再根据直线m与抛物线方程得到式②，最终得到l方程．

解答解：（Ⅰ）依题意，4a=4$\sqrt{2}$，a²-b²=1      …（2分）
所以a=$\sqrt{2}$，b=1                                         …（3分）
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$                                         …（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），PQ与x轴的交点记为点N
直线l的方程为x=ty-1，直线m的方程为：x=ty+4
依题意得$\frac{A{F}_{1}}{PN}$=$\frac{M{F}_{1}}{MN}$=$\frac{B{F}_{1}}{QN}$
则$\frac{|{y}_{1}|}{|{y}_{3}|}$=$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{4}|}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{y}_{3}}{{y}_{4}}$，令$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{y}_{3}}{{y}_{4}}$=λ（λ＜0），…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 消去x，得（t²+2）y²-2ty-1=0，…（6分）
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2t}{{t}^{2}+2}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{t}^{2}+2}}\end{array}\right.$，把y₁=λy₂代入整理得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+2}$①…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$ 消去x，得y²-4ty-16=0，…（9分）
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}+{y}_{4}=4t}\\{{y}_{3}{t}_{4}=-16}\end{array}\right.$，把y₃=λy₄代入，整理得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=-t²②…（10分）
由①②消去λ，得$\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+2}$=t²，解得t=0或t=$±\sqrt{2}$        …（11分）
故直线l的方程为：x=-1或x-$\sqrt{2}$y+1=0 或x+$\sqrt{2}$y+1=0    …（12分）
故答案为：直线l的方程为：x=-1或x-$\sqrt{2}$y+1=0 或x+$\sqrt{2}$y+1=0