Question

【题目】已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2 =0相切 （Ⅰ）求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．
（Ⅱ）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程
（Ⅲ） 若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得：圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2 的距离为圆的半径， r= =2，所以圆C的标准方程为：x2+y2=4，
所以圆心到直线l2的距离d=
∴
（Ⅱ）因为点G（1，3），所以 ，
所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6 （1）
又圆C方程为：x2+y2=4 （2），由（1）﹣（2）得直线MN方程：x+3y﹣4=0
（Ⅲ）设直线l的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，
设直线l与圆的交点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b， （3）
因为∠POQ为钝角，所以 ，
即满足x1x2+y1y2＜0，且 与 不是反向共线，
又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以
由（3）（4）得b2＜4，满足△＞0，即﹣2＜b＜2，
当 与 反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不满足题意，
故直线l纵截距的取值范围是﹣2＜b＜2，且b≠0
【解析】（Ⅰ）由直线与圆相交的性质可知，（ ）2=r2﹣d2 ， 要求AB，只要求解圆心到直线4x﹣3y+5=0的距离．即可求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（Ⅱ）求出圆C的方程以及以G（1，3）为圆心，QM为半径的圆，利用圆系方程求直线MN的方程．（Ⅲ）设直线l的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4，设直线l与圆的交点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用△＞0，以及韦达定理，通过∠POQ为钝角，求出﹣2＜b＜2，当 与 反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不满足题意，即可得到结果．