题目内容

【题目】已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线l1:x﹣y﹣2 =0相切 (Ⅰ)求直线l2:4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长.
(Ⅱ)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N,求直线MN的方程
(Ⅲ) 若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由题意得:圆心(0,0)到直线l1:x﹣y﹣2 的距离为圆的半径, r= =2,所以圆C的标准方程为:x2+y2=4,
所以圆心到直线l2的距离d=

(Ⅱ)因为点G(1,3),所以
所以以G点为圆心,线段GM长为半径的圆G方程:(x﹣1)2+(y﹣3)2=6 (1)
又圆C方程为:x2+y2=4 (2),由(1)﹣(2)得直线MN方程:x+3y﹣4=0
(Ⅲ)设直线l的方程为:y=﹣x+b联立x2+y2=4得:2x2﹣2bx+b2﹣4=0,
设直线l与圆的交点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),
由△=(﹣2b)2﹣8(b2﹣4)>0,得b2<8,x1+x2=b, (3)
因为∠POQ为钝角,所以
即满足x1x2+y1y2<0,且 不是反向共线,
又y1=﹣x1+b,y2=﹣x2+b所以
由(3)(4)得b2<4,满足△>0,即﹣2<b<2,
反向共线时,直线y=﹣x+b过原点,此时b=0,不满足题意,
故直线l纵截距的取值范围是﹣2<b<2,且b≠0
【解析】(Ⅰ)由直线与圆相交的性质可知,( 2=r2﹣d2 , 要求AB,只要求解圆心到直线4x﹣3y+5=0的距离.即可求直线l2:4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长.(Ⅱ)求出圆C的方程以及以G(1,3)为圆心,QM为半径的圆,利用圆系方程求直线MN的方程.(Ⅲ)设直线l的方程为:y=﹣x+b联立x2+y2=4,设直线l与圆的交点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),利用△>0,以及韦达定理,通过∠POQ为钝角,求出﹣2<b<2,当 反向共线时,直线y=﹣x+b过原点,此时b=0,不满足题意,即可得到结果.

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