题目内容
【题目】已知椭圆C:的离心率为
,长半轴长为短轴长的b倍,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点
.
求椭圆C的方程;
若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
由题意知
,解出a、b即可.
点易知
,
,则直线MA的方程为
,直线MB的方程为
分别与椭圆联立方程组,解得
,
,可得
,
,Q坐标
结合对称性可知定点在y轴上,设为N,令直线PN,QN的斜率相等,即可得到定点.
由题意知
,解得
,
所以椭圆C的方程为.
易知
,
,
则直线MA的方程为,直线MB的方程为
.
联立,得
,
于是,
,
同理可得,
,又由点
及椭圆的对称性可知定点在y轴上,设为N(0,n)
则直线PN的斜率,直线QN的斜率
,
令,则
,化简得
,解得n=
,
所以直线PQ过定点
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