题目内容
已知椭圆M:
(a>b>0)的离心率为
,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l:x=ky+m与椭圆M交手A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求△ABC面积的最大值.



(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l:x=ky+m与椭圆M交手A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求△ABC面积的最大值.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
时,
取得最大值为
.




(1)由题意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是
,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.
(Ⅰ)因为椭圆
上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,∴
, 又椭圆的离心率为
,即
,所以
,
∴
,
. ………… 3分∴
,椭圆
的方程为
.……4分
(Ⅱ)由直线
的方程
.联立
消去
得
,………… 5分
设
,
,则有
,
. ① ……… 6分
因为以
为直径的圆过点
,所以
.由
,得
.…………… 7分
将
代入上式,得
.
将 ① 代入上式,解得
或
(舍). ……… 8分
所以
,记直线
与
轴交点为
,则
点坐标为
,
所以

设
,则
.
所以当
时,
取得最大值为
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是

(Ⅰ)因为椭圆






∴





(Ⅱ)由直线





设




因为以





将


将 ① 代入上式,解得


所以






所以


设


所以当




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