题目内容

已知椭圆M:(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l:x=ky+m与椭圆M交手A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求△ABC面积的最大值.
(Ⅰ)(Ⅱ)时,取得最大值为.
(1)由题意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.
(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,∴, 又椭圆的离心率为,即,所以
.  ………… 3分∴,椭圆的方程为.……4分
(Ⅱ)由直线的方程.联立 消去,………… 5分     
,则有. ① ……… 6分
因为以为直径的圆过点,所以 .由 ,得 .…………… 7分
代入上式,得 .
将 ① 代入上式,解得 (舍). ……… 8分
所以,记直线轴交点为,则点坐标为
所以
,则.
所以当时,取得最大值为
练习册系列答案
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