题目内容
【题目】已知函数.
(1),求函数
的单调区间:
(2)对于任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求导后,按照、
、
与
分类,分别解出不等式
,即可得解;
(2)转化条件得对于任意,不等式
恒成立,设
,则
,设
,求导后可得
在
上单调递增,进而可得
,使得
,即
,则
,设
,求导后可得
在
上单调递增,即可证
,代入求出
后,即可得解.
(1)由题意,
则,
(i)当时,
的解集为
,则
的单调增区间为
和
,单调减区间为
;
(ii)当时,
,则
的单调增区间为
,无单调减区间;
(iii)当时,
的解集为
,则
的单调增区间为
和
,单调减区间为
;
(iiii)当时,
的解集为
,则
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)由已知,问题等价于对于任意,不等式
恒成立,
设,则
,
设,则
,
在上,
,
单调递增,
又,
,所以
,
所以,使得
,即
,
在上,
,
单调递减;
在上,
,
单调递增;
所以,
又有,
设,则有
和
,
所以在上,
单调递增,所以
,
所以,
故实数的取值范围为
.
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