Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB₁＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分别为CD、C₁D₁的中点．

（1）求证：EF⊥平面BB₁G；
（2）求二面角E－BB₁－G的大小．

Answer 1

（1）略
（2）

（1）

连接FG　∵F、G分别为CD、C₁D₁的中点，
∴FGCC₁　从而FGBB₁
∴B、B₁、F、G四点共面．
连接BF并延长与AD的延长线交于点H．
∵F为CD的中点，且BC∥A                    D．
∴△HFD△BFC　∴DH＝BC＝3
∴EH＝DE+DH＝5．　又∵BE＝5，且F为BH的中点．
∴EF⊥BF，又∵BB₁⊥平面ABCD，且EF平面ABCD内．
∴BB₁⊥EF　∴EF⊥平面BB₁GF．　　从而EF⊥平面BB₁G．
（2）二面角E－BB₁－G的大小等于二面角F－BB₁－E的大小
∵EF⊥平面FBB₁　且EB⊥BB₁　FB⊥BB₁
即∠EBF为二面角F­－BB₁－E的平面角
在△EFB中，EB＝5，EF＝．　∴
∴∠EBF＝　∴二面角E－BB₁－G的大小为
解法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AA₁为y轴，AD为Z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B₁（4，4，0）
（1）、、
∵，
∴EF⊥BB₁，EF⊥B₁G　∴EF⊥平面BB₁G
（2）∵EF⊥平面BB₁G　∴为平面BB₁G的一个法向量
设平面EBB₁的一个法向量为
　
则　解得，取
∴

∴二面角E－BB₁－G的大小为