Question

7．已知函数$f（x）=\frac{3^x}{{{3^x}+1}}$，正项等比数列{a_n}满足a₁₀₀₈=1，则f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+…+f（lna₂₀₁₅）=（　　）

• A． 2015
• B． $\frac{2015}{2}$
• C． 2016
• D． 1008

Answer 1

分析 由正项等比数列{a_n}的性质可得：a_k•a_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，可得lna_k+lna_2016-k=0．又f（0）=$\frac{1}{2}$，f（x）+f（-x）=1，即可得出．

解答 解：由正项等比数列{a_n}的性质可得：a_k•a_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，
∴lna_k+lna_2016-k=0．
f（0）=$\frac{1}{2}$，
又f（x）+f（-x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$=1，
∴f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+…+f（lna₂₀₁₅）
=[f（lna₁）+f（lna₂₀₁₅）]+[f（lna₂）+f（lna₂₀₁₄）]+…+[f（lna₁₀₀₇）+f（a₁₀₀₉）]+f（lna₁₀₀₈）
=1007+$\frac{1}{2}$=$\frac{2015}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的性质、函数的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．