Question

【题目】已知为实数，用表示不超过的最大整数.

（1）若函数，求的值；

（2）若函数，求的值域；

（3）若存在且，使得，则称函数是函数，若函数 是函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）{0，1}；（3）且且．

【解析】

（1）根据取整函数的定义直接计算；

（2）考虑与之间的大小关系，从而得到的值域；

（3）对进行分类讨论：，利用单调性证明在时不成立，当时，再对分类讨论：，由此求解出的取值范围.

（1）f(1.2)=1,f(-1.2)=-2；

（2）因为[]=[]或[]=[]+1

所以若函数的值域为{0，1}

（3）当函数f（x）=x+是Ω函数时，

若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．

若a＜0，则是一个增函数，

所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，

此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），

同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），

又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，

所以此时f（x）=x+不是Ω函数．

当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，

当m＞0时，

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，

所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，

当m＜0时，[m]＜0，

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，

所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，

记k=[m]，综上，我们可以得到：a＞0且k∈N，a≠k2且a≠k（k+1）．