题目内容
【题目】已知函数.
(1)若关于的方程
在区间
上有解,求实数
的取值范围;
(2)若对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) m的取值范围是;(2)实数a的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)即求函数在区间
上值域,先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号变化规律,确定单调性,进而根据单调性求值域,(2)先参变分离,转化为求对应函数最值:
的最小值,利用二次求导可得函数
单调性,再根据单调性确定其最小值取法,最后根据最小值得实数
的取值范围.
试题解析:(1)方程即为
.
令,则
.
令,则
(舍),
.
当x∈[1, 3]时,随x变化情况如表:
x | 1 | 3 | |||
+ | 0 | - | |||
极大值 |
∴当x∈[1,3]时,.
∴m的取值范围是.
(2)据题意,得对
恒成立.
令,
则.
令,则当x>0时,
,
∴函数在
上递增.
∵,
∴存在唯一的零点c∈(0,1),且当x∈(0,c)时,
;当
时,
.
∴当x∈(0,c)时,;当
时,
.
∴在(0,c)上递减,在
上递增,从而
.
由得
,即
,两边取对数得
,
∴.
∴,即所求实数a的取值范围是
.
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