Question

5．在△ABC中，∠A=90°，边AC=1，AB=2，过点A作AP⊥BC交BC于P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λμ=$\frac{4}{25}$．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求得$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$，而已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，可得λ和μ的值，从而求得λμ的值．

解答 解：由题意可得BC=$\sqrt{5}$，且△ACP∽△BCA，∴$\frac{CP}{AC}=\frac{AC}{BC}$，即 $\frac{CP}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，求得CP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$，而已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ=$\frac{1}{5}$，μ=$\frac{4}{5}$，
∴λμ=$\frac{4}{25}$，
故答案为：$\frac{4}{25}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，平面向量基本定理，属于基础题．