Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤0}\\{1-3x，x＞0}\end{array}\right.$，若f（2a²-3）＞f（5a），则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，3）．

Answer 1

分析 结合指数函数和一次函数的单调性可判断函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤0}\\{1-3x，x＞0}\end{array}\right.$的R上为减函数，进而将不等式f（2a²-3）＞f（5a）化为2a²-3＜5a，解得答案．

解答 解：∵y=${（\frac{1}{2}）}^{x}$与y=1-3x均为减函数，
且当x=0时，${（\frac{1}{2}）}^{x}$=1-3x=1，
故函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤0}\\{1-3x，x＞0}\end{array}\right.$的R上为减函数，
若f（2a²-3）＞f（5a），则2a²-3＜5a，
解得：a∈（-$\frac{1}{2}$，3），
故实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，3），
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，3）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．