题目内容
已知函数f(x)=2x-
.
(1)设集合A={x|f(x)≤
},B={x|x2-6x+p<0},若A∩B≠∅,求实数p的取值范围;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
1 |
2|x| |
(1)设集合A={x|f(x)≤
15 |
4 |
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
(1)当x≥0时,f(x)≤
,即2x-
≤
,解得0≤x≤2;
当x<0时,f(x)≤
即0≤
成立,
综上,f(x)≤
的解集为{x|x≤2},即A=(-∞,2].
设g(x)=x2-6x+p,
因为A∩B≠∅,所以g(2)<0,即4-6×2+p<0,解得p<8,
所以实数p的取值范围为:(-∞,8).
(2)因为t∈[1,2],所以f(t)=2t-
,
2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,即2t(22t-
)+m(2t-
)≥0恒成立,
即(2t-
)(22t+1+m)≥0,
因为22t-1≥3,所以22t+1+m≥0恒成立,即m≥-(1+22t),
因为t∈[1,2],所以-(1+22t)∈[-17,-5],则m≥-5.
故实数m的取值范围为[-5,+∞).
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4 |
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2x |
15 |
4 |
当x<0时,f(x)≤
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4 |
15 |
4 |
综上,f(x)≤
15 |
4 |
设g(x)=x2-6x+p,
因为A∩B≠∅,所以g(2)<0,即4-6×2+p<0,解得p<8,
所以实数p的取值范围为:(-∞,8).
(2)因为t∈[1,2],所以f(t)=2t-
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2t |
2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,即2t(22t-
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22t |
1 |
2t |
即(2t-
1 |
2t |
因为22t-1≥3,所以22t+1+m≥0恒成立,即m≥-(1+22t),
因为t∈[1,2],所以-(1+22t)∈[-17,-5],则m≥-5.
故实数m的取值范围为[-5,+∞).
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