Question

【题目】已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

（1）求证：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求三棱锥B﹣MDC的体积VB﹣MDC ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△PMB为正三角形，

且D为PB的中点，∴MD⊥PB．

又∵M为AB的中点，D为PB的中点，

∴MD∥AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，

∴BC⊥平面APC

（2）解：有VM﹣BCD=VB﹣MDC．

∵AB=10，∴MB=PB=5，

又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，

∴ ．

又 ，∴ ．

【解析】（1）运用等边三角形的性质和中位线定理，证得AP⊥平面PBC，再由线面垂直的性质得，AP⊥BC，结合条件AC⊥BC，即可得证；（2）运用VM﹣BCD=VB﹣MDC ． 由棱锥的体积公式，计算三角形BCD的面积和MD，即可得到．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．