题目内容
【题目】已知动圆过定点
,且与定直线
相切,动圆圆心
的轨迹方程为
,直线
过点
交曲线
于
两点.
(1)若交
轴于点
,求
的取值范围;
(2)若的倾斜角为
,在
上是否存在点
使
为正三角形?若能,求点
的坐标;若不能,说明理由.
【答案】(1) (2) 直线l上不存在点E,使得△ABE是正三角形.
【解析】试题分析:
(1)由题意可知曲线C是抛物线,可得抛物线方程,把直线方程代入抛物线方程得x的一元二次方程,同时设设,利用韦达定理得
,用坐标表示出
,利用基本不等式并转化为
,代入韦达定理的结论可得.
(2)假设存在点,使△ABE为正三角形,则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|, 由抛物线定义知
,这样把|BE|=
和|AE|=
用坐标表示,两式相减就可解得
,从而得E点坐标,但检验发现此时
,故刚才的解不正确,即不存在E点满足题意.
试题解析:
(1)依题意,曲线C是以点P为焦点,直线为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为
设方程为
代入
由消去
得
设、
,则
所以的取值范围是
(2)由(1)知方程为
代入
由消去
得
,
假设存在点,使△ABE为正三角形,则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|,
即
,
.
若,则
因此,直线l上不存在点E,使得△ABE是正三角形.
解法二:设AB的中点为G,则
由联立
方程
与
方程求得
由得
,矛盾
因此,直线l上不存在点E,使得△ABE是正三角形.
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