题目内容

【题目】已知函数mnR.

1)当m0时,求函数的极值;

2)当n0时,函数(0)上为单调函数,求m的取值范围;

3)当n0时,判断是否存在正数m,使得函数有相同的零点,并说明理由.

【答案】1)函数有极大值﹣1,无极小值;(2m的取值范围为{0};3)存在正数m,使得函数有相同的零点,详见解析.

【解析】

1)当时,利用研究函数的单调性,由此求得函数的极值.

2)当时,由恒成立,将分成四种情况进行分类讨论,由此求得的取值范围.

3)设为相同的零点,由此得到,进而得到①,②.通过构造函数法,结合零点存在性定理,证得①②能同时成立,由此证得存在符合题意的正数.

1)当m0时,

,令,解得x1,列表如下:

x

(01)

1

(1)

0

单调递增

单调递减

∴当x1时,函数有极大值﹣1,无极小值;

2)当n0时,函数

要使函数(0)上为单调函数,

则对(0)恒成立,

恒成立

①当0m2时,(0)()时,()时,,不符题意;

②当m0时,(0)()时,()时,,不符题意;

③当m2时,(0)时,()时,,不符题意;

④当m0时,,此时恒成立,

函数(0)上单调递减,符合题意,

综上所述,m的取值范围为{0}

3)∵函数有相同的零点,不妨设为相同的零点

①,②,

由(1)知,故

故当(1n3)时,,②式有解,且能满足

∴存在正数m,使得函数有相同的零点.

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