题目内容
【题目】已知函数,
,m,n
R.
(1)当m=0时,求函数的极值;
(2)当n=0时,函数在(0,
)上为单调函数,求m的取值范围;
(3)当n>0时,判断是否存在正数m,使得函数与
有相同的零点,并说明理由.
【答案】(1)函数有极大值﹣1,无极小值;(2)m的取值范围为{0};(3)存在正数m,使得函数
与
有相同的零点,详见解析.
【解析】
(1)当时,利用
研究函数
的单调性,由此求得函数
的极值.
(2)当时,由
或
恒成立,将
分成
,
,
和
四种情况进行分类讨论,由此求得
的取值范围.
(3)设为相同的零点,由此得到
,进而得到
①,
②.通过构造函数法,结合零点存在性定理,证得①②能同时成立,由此证得存在符合题意的正数
.
(1)当m=0时,,
∴,令
,解得x=1,列表如下:
x | (0,1) | 1 | (1, |
+ | 0 | - | |
单调递增 | 单调递减 |
∴当x=1时,函数有极大值﹣1,无极小值;
(2)当n=0时,函数
∴,
要使函数在(0,
)上为单调函数,
则对(0,
),
或
恒成立,
令,
或
恒成立
①当0<m<2时,(0,
)
(
,
)时,
,
(
,
)时,
,不符题意;
②当m<0时,(0,
)
(
,
)时,
,
(
,
)时,
,不符题意;
③当m≥2时,(0,
)时,
,
(
,
)时,
,不符题意;
④当m=0时,,此时
恒成立,
函数在(0,
)上单调递减,符合题意,
综上所述,m的取值范围为{0};
(3)∵函数与
有相同的零点,不妨设
为相同的零点
则,
得①,
②,
由(1)知,故
,
∴,
令,
又,
,
故当(1,n+3)时,
,②式有解,且能满足
,
∴存在正数m,使得函数与
有相同的零点.

【题目】某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标和
的数据,并统计得到如下的
列联表(不完整):
合计 | |||
12 | 36 | ||
7 | |||
合计 |
其中在生理指标的人中,设
组为生理指标
的人,
组为生理指标
的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
组:10,11,12,13,14,15,16
组:12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填写上表,并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标和
有关系;
(Ⅱ)从,
两组随机各选1人,
组选出的人记为甲,
组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.
附:,其中
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |