Question

10．过抛物线y²=4x的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB，求AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 设直线OA的方程为y=kx（k≠0），代入抛物线方程，求得交点A，再设出直线OB的方程，可得交点B，再由中点坐标公式，运用平方消元，即可得到中点的轨迹方程．

解答 解：∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0，
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0），
∴联立y²=4x，解得x_A=$\frac{4}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{4}{k}$，
以-$\frac{1}{k}$代上式中的k，解方程组，
解得x_B=4k²，y_B=-4k
∴A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），B（4k²，-4k），
设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，
得x=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²），y=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{k}$-4k），
消去参数k，得y²=2x-8，即为AB中点的轨迹方程．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，求交点，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．