Question

10．对给定的整数m，符号φ（m）表示{1，2，3}中使m+φ（m）能被3整除的唯一值，那么φ（2²⁰¹⁰-1）+φ（2²⁰¹⁰-2）+φ（2²⁰¹⁰-3）=6．

Answer 1

分析 由已知φ（m）∈{1，2，3}，m+φ（m）能被3整除，可得φ（1）=2，φ（2）=1，φ（3）=3．可得φ（3k+1）=2，φ（3k+2）=1，φ（3k）=3（k∈Z）．由于2²⁰¹⁰-3，2²⁰¹⁰-2，2²⁰¹⁰-1是3个连续整数，即可得出答案．

解答 解：∵φ（m）∈{1，2，3}，m+φ（m）能被3整除，
∴φ（1）=2，φ（2）=1，φ（3）=3．
即φ（3k+1）=2，φ（3k+2）=1，φ（3k）=3（k∈Z）．
2²⁰¹⁰-3，2²⁰¹⁰-2，2²⁰¹⁰-1是3个连续整数，
∴φ（2²⁰¹⁰-1）+φ（2²⁰¹⁰-2）+φ（2²⁰¹⁰-3）=1+2+3=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了整除的性质、几何的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．