Question

【题目】已知直线与直线互相垂直，且交点为Q，点，线段QF的垂直平分线与直线交于点P．

（I）若动点P的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；

（Ⅱ）已知点，经过点M的两条直线分别与曲线E交于A，B和C，D，且，设直线AC，BD的斜率分别为，是否存在常数，使得当变动时，？说明理由．

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）存在，

【解析】

（I）结合题意可知,根据抛物线定义,可知点P轨迹是以为准线,F为焦点的抛物线,由焦点坐标即可得出结果.

（Ⅱ）设直线AB的方程为,由可知A，N，C共线,设直线AC的方程为,设点,,由直线AB和曲线E联立,借助韦达定理可得,,代入计算求得的关系式,,,即可得出结论

（Ⅰ）由题意，，结合抛物线定义，

可知点P轨迹是以为准线，F为焦点的抛物线，

故曲线E的方程为．

（Ⅱ）设直线AB的方程为，

由，得．

设点，则．

同理，设点．则．

由可知A，N，C共线，

设直线AC的方程为，

由，得，．

又，

，

故，所以存在常数，使．