题目内容
【题目】已知函数,
,其中
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意,任意
,不等式
恒成立时最大的
记为
,当
时,
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求导后分与
两种情况分析函数的单调性即可.
(2)参变分离与
可得
,再令
,求导得
,再分析
的单调性,分
,
与
三种情况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得
的解析式,再求导分析单调性与范围即可.
解:(1)∵
∴,∵
,
∴①当时,
的减区间为
,没有增区间
②当时,
的增区间为
,减区间为
(2)原不等式.
∵,
,∴
,
令,
令
在
上递增;
①当时,即
,∵
,所以
时
,
,
∴在
上递增;∴
.
②当,即
时
,
,∴
在
上递减;
∴
③当时,又
在
上递增;
存在唯一实数,使得
,即
,
则当时
.
当时
.
∴.
∴.
令在
上递增,
,∴
.
综上所述,.
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