题目内容
20．已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x1，x2是关于x方程x2+bx+c=0的根，则x1+x2=-b，x1•x2=c．（Ⅰ）若x1，x2，x3是一元三次方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根，求x1+x2+x3和x1•x2•x3的值；
（Ⅱ）若x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想x1+x2+x3和x1•x2•x3与系数的关系，并加以证明．
分析 （Ⅰ）求出方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根分别为-1，1和4，即可求x1+x2+x3和x1•x2•x3的值；
（Ⅱ）利用x3+bx2+cx+d=（x-x1）（x-x2）（x-x3），（x-x1）（x-x2）（x-x3）展开式中二次项为-（x1+x2+x3）x2，常数项为-x1•x2•x3，即可得出结论．
解答 解：（Ⅰ）∵方程x2-3x-4=0的两个根分别为-1和4，…（2分）
∴方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根分别为-1，1和4，…（3分）
∴x1+x2+x3=4，x1•x2•x3=-4． …（5分）
（Ⅱ）x1+x2+x3=-b，x1•x2•x3=-d． …（7分）
证明：∵x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，
∴x3+bx2+cx+d=（x-x1）（x-x2）（x-x3），…（9分）
又∵（x-x1）（x-x2）（x-x3）展开式中二次项为-（x1+x2+x3）x2，…（10分）
常数项为-x1•x2•x3，…（11分）
∴x1+x2+x3=-b，x1•x2•x3=-d． …（12分）
点评 本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，确定x-x1）（x-x2）（x-x3）展开式中二次项为-（x1+x2+x3）x2，常数项为-x1•x2•x3，是关键．
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