题目内容
【题目】如图,已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
,短轴的两端点分别为
,
,线段
,
的中点分别为
,
,且四边形
是面积为8的矩形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过作直线
交椭圆于
,
两点,若
,求直线
的方程.
【答案】(1); (2)
或
.
【解析】
(I)通过矩形的面积和对角线长相等列方程组,结合
,解得
的值,从而求得椭圆方程.(II)当直线
的斜率不存在时,直接得出直线
的方程,代入椭圆方程求得
两点的坐标,代入
验证出不符合题意.当直线
的斜率存在时,设出直线
的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,化简后写出韦达定理,将坐标代入
,解方程求得直线
的斜率,由此求得直线
的方程.
(I)在矩形中,
所以四边形是正方形,所以
又
,
∴椭圆C的方程为.
(II)由(I)可知,
1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-2,
由
∴l:x=-2不满足题意.
2)当l的斜率为k时,设l的方程为,
由
则
综上所述,直线l的方程为或
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