题目内容
15.已知函数f(x)=$\frac{lnx+(x-b)^{2}}{x}$(b∈R).若存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得f(x)+xf′(x)>0,则实数 b的取值范围是( )A. | (-∞,$\frac{3}{2}$) | B. | (-∞,$\frac{9}{4}$) | C. | (-∞,3) | D. | (-∞,$\sqrt{2}$) |
分析 求导函数,确定函数的单调性,进而可得函数的最大值,故可求实数a的取值范围.
解答 解:∵f(x)=f(x)=$\frac{lnx+(x-b)^{2}}{x}$,x>0,
∴f′(x)=$\frac{1+2x(x-b)-lnx-(x-b)^{2}}{{x}^{2}}$,
∴f(x)+xf′(x)=$\frac{lnx+(x-b)^{2}}{x}$+$\frac{1+2x(x-b)-lnx-(x-b)^{2}}{x}$=$\frac{1+2x(x-b)}{x}$,
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得f(x)+xf′(x)>0,
∴1+2x(x-b)>0
∴b<x+$\frac{1}{2x}$,
设g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,
∴b<g(x)max,
∴g′(x)=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$,
当g′(x)=0时,解的x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
当g′(x)>0时,即$\frac{\sqrt{2}}{2}$<x≤2时,函数单调递增,
当g′(x)<0时,即$\frac{1}{2}$≤x<2时,函数单调递减,
∴当x=2时,函数g(x)取最大值,最大值为g(2)=2+$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{4}$
∴b<$\frac{9}{4}$,
故选:B.
点评 本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查函数的最值,属于中档题.
练习册系列答案
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5.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )
A. | 在区间(-2,1)上f(x)是增函数 | B. | 当x=4时,f(x)取极大值 | ||
C. | 在(1,3)上f(x)是减函数 | D. | 在(4,5)上f(x)是增函数 |
6.等差数列{an}中,a1•a2015为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2014=( )
A. | 10 | B. | 15 | C. | 20 | D. | 40 |
20.已知2x=3y,则$\frac{x}{y}$=( )
A. | $\frac{lg2}{lg3}$ | B. | $\frac{lg3}{lg2}$ | C. | lg$\frac{2}{3}$ | D. | lg$\frac{3}{2}$ |
4.不等式|x|$<\frac{2}{3}$的解集为( )
A. | ∅ | B. | (-∞,-$\frac{2}{3}$)∪($\frac{2}{3}$,+∞) | C. | (-$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$) | D. | R |