题目内容
3．试证数列49.4489.444889，…，$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$的每一项都是完全平方数．分析 设该数列为{an}，可得an=$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$=9+$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}$0+$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{00…0}}{n}$=9+$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-10）$+$\frac{4}{9}$（102n-10n），化简即可得出．
解答 解：设该数列为{an}，
$\underset{\underbrace{99…9}}{n}$=10n-1，$\underset{\underbrace{88…8}}{n}$=$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-1）$．
∴an=$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$=9+$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}$0+$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{00…0}}{n}$=9+$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-10）$+$\frac{4}{9}$（102n-10n）=$（\frac{2•1{0}^{n}+1}{3}）^{2}$，
∴数列的每一项都是完全平方数．
点评 本题考查了数列的通项公式、完全平方数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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